Question

10．已知集合A={x|x²-2x-3＞0}，B={x|x²+ax+b≤0}，A∪B=R，A∩B={x|3＜x≤4}．
（1）求a，b的值；
（2）求不等式ax²+bx-1＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）求出集合A={x|x＞3或x＜-1}，由A∪B=R，A∩B={x|3＜x≤4}，得到B={x|-1≤x≤4}，从而-1，4是方程x²+ax+b=0的两个根，由此能求出a，b．
（2）由a=-3，b=-4，ax²+bx-1＞0，得3x²+4x+1=（3x+1）（x+1）＜0，由此能求出不等式ax²+bx-1＞0的解集．

解答 解：（1）∵集合A={x|x²-2x-3＞0}={x|x＞3或x＜-1}，
B={x|x²+ax+b≤0}，A∪B=R，A∩B={x|3＜x≤4}，
∴B={x|-1≤x≤4}，
∴-1，4是方程x²+ax+b=0的两个根，解得a=-3，b=-4．
（2）∵a=-3，b=-4，ax²+bx-1＞0，
∴3x²+4x+1=（3x+1）（x+1）＜0，
解得-1＜x＜-$\frac{1}{3}$，
∴不等式ax²+bx-1＞0的解集为{x|-1＜x＜-$\frac{1}{3}$}．

点评 本题考查满足条件的实数值的求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集和并集的性质的合理运用．