Question

19．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=$\sqrt{3}$，且2cos²A-2cos²B=c（sin2A-sin2B）．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA=$\frac{4}{5}$，求△ABC的内切圆半径．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式与和差化积公式化简得出tanC；
（2）利用正弦定理解得a，b，设内切圆半径为r，利用内心的性质和切线长定理列方程解出r．

解答 解：（1）∵2cos²A-2cos²B=c（sin2A-sin2B）．
∴1-cos2A-（1-cos2B）=$\sqrt{3}$（sin2A-sin2B）．
即cos2B-cos2A=$\sqrt{3}$（sin2A-sin2B）．
∴-2sin（B+A）sin（B-A）=2$\sqrt{3}$cos（A+B）sin（A-B），
∴sinC=-$\sqrt{3}$cosC．
∴tanC=-$\sqrt{3}$．
∴C=120°．
（2）由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，即$\frac{a}{\frac{4}{5}}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，解得a=$\frac{8}{5}$．
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{4}{5}×（-\frac{1}{2}）+\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}-4}{10}$．
∴b=$\frac{3\sqrt{3}-4}{5}$．
过内切圆圆心分别作三边的垂线OD，OE，OF，则∠OCD=∠OCE=60°，
设内切圆半径为r，则CD=CE=$\frac{r}{\sqrt{3}}$．
∴AD=AF=$\frac{3\sqrt{3}-4}{5}-\frac{r}{\sqrt{3}}$，BE=BF=$\frac{8}{5}-\frac{r}{\sqrt{3}}$．
∵AB=AF+BF=$\sqrt{3}$．
∴$\frac{3\sqrt{3}-4}{5}-\frac{r}{\sqrt{3}}$+$\frac{8}{5}-\frac{r}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$．
解得r=$\frac{2\sqrt{3}-3}{5}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦定理，属于中档题．