Question

20．求和：3+2×3²+3×3³+4×3⁴+…+n•3ⁿ．

Answer 1

分析 直接利用错位相减法求3+2×3²+3×3³+4×3⁴+…+n•3ⁿ．

解答 解：设S_n=3+2×3²+3×3³+4×3⁴+…+n•3ⁿ．
则$3{S}_{n}={3}^{2}+2×{3}^{3}+3×{3}^{4}+…+（n-1）•{3}^{n}+n•{3}^{n+1}$，
∴$-2{S}_{n}=3+{3}^{2}+{3}^{3}+…+{3}^{n}-n•{3}^{n+1}$
=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}-n•{3}^{n+1}=\frac{{3}^{n+1}}{2}-n•{3}^{n+1}-\frac{3}{2}$，
∴${S}_{n}=\frac{3}{4}-\frac{{3}^{n+1}}{4}+\frac{n•{3}^{n+1}}{2}$=$\frac{3}{4}+\frac{（2n-1）•{3}^{n+1}}{4}$．

点评 本题考查数列的求和，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．