Question

5．已知等差数列{a_n}的公差d≠0，{a_n}中的部分项组成的数列a${\;}_{{k}_{1}}$，a${\;}_{{k}_{2}}$，a${\;}_{{k}_{3}}$，…，a${\;}_{{k}_{n}}$，…恰好为等比数列，其中k₁=3，k₂=5，k₃=17，求数列{k_n}的通项公式．

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的首项为a₁，从而可得a${\;}_{{k}_{1}}$=a₁+（k₁-1）d=a₁+2d，a${\;}_{{k}_{2}}$=a₁+（k₂-1）d=a₁+4d，a${\;}_{{k}_{3}}$=a₁+（k₃-1）d=a₁+16d，结合等比数列的性质可得（a₁+4d）²=（a₁+2d）（a₁+16d），从而解得a₁=-$\frac{8}{5}$d，从而判断出数列{5k_n-13}是以15-13=2为首项，以6为公比的等比数列，从而解得．

解答 解：设等差数列{a_n}的首项为a₁，
则a${\;}_{{k}_{1}}$=a₁+（k₁-1）d=a₁+2d，
a${\;}_{{k}_{2}}$=a₁+（k₂-1）d=a₁+4d，
a${\;}_{{k}_{3}}$=a₁+（k₃-1）d=a₁+16d，
∵数列a${\;}_{{k}_{1}}$，a${\;}_{{k}_{2}}$，a${\;}_{{k}_{3}}$，…，a${\;}_{{k}_{n}}$，…恰好为等比数列，
∴（a₁+4d）²=（a₁+2d）（a₁+16d），
解得，a₁=-$\frac{8}{5}$d，
故a${\;}_{{k}_{n}}$=a₁+（k_n-1）d=$\frac{5{k}_{n}-13}{5}$d，
验证可知$\frac{{a}_{{k}_{2}}}{{a}_{{k}_{1}}}$=$\frac{\frac{12}{5}d}{\frac{2}{5}d}$=6，
故数列{5k_n-13}是以15-13=2为首项，以6为公比的等比数列，
故5k_n-13=2•6^n-1，
故k_n=$\frac{2•{6}^{n-1}+13}{5}$．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的性质的判断与应用，同时考查了整体思想与构造法的应用．