Question

15．设f（x）=asin2x+bcos2x，且满足a，b∈R，ab≠0，且f（$\frac{π}{6}-x$）=f（$\frac{π}{6}+x$），则下列说法正确的是（　　）

• A． |f（$\frac{7π}{10}$）|＜|f（$\frac{π}{5}$）|
• B． f（x）是奇函数
• C． f（x）的单调递增区间是[k$π+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2}{3}π$]（k∈Z）
• D． a=$\sqrt{3}$b

Answer 1

分析 由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，由于θ的值不确定，故A、B、C不能确定正确，利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．

解答 解：∵f（x）=asin2x+bcos2x=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$sin（2x+θ），且满足a，b∈R，ab≠0，
sinθ=$\frac{b}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$，cosθ=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$，
由于θ的值不确定，故A、B、C不能确定正确．
∵f（$\frac{π}{6}-x$）=f（$\frac{π}{6}+x$），∴f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{6}$对称，
∴令x=$\frac{π}{6}$，可得f（0）=f（$\frac{π}{3}$），即b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a-$\frac{b}{2}$，求得a=$\sqrt{3}$b，
故选：D．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的奇偶性、单调性，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．