Question

6．为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2016年举行某一产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用t（t≥0）万元满足x=4-$\frac{k}{2t+1}$（k为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2016年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均生产投入成本的1.5倍（生产投入成本包括生产固定投入和生产再投入两部分）．
（1）求常数k，并将该厂家2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；
（2）该厂家2016年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？

Answer 1

分析 （1）利用不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件，可求k的值；确定每件产品的销售价格，结合厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍，即可求得函数解析式；
（2）利用基本不等式，即可求得最值．

解答 解：（1）由题意，不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件，知t=0时，x=1（万件），
∴1=4-k，得k=3，
从而x=4-$\frac{3}{2t+1}$，又每件产品的销售价格为1.5×$\frac{6+12x}{x}$元，
∴2016年的利润为y=1.5×$\frac{6+12x}{x}$×x-（6+12x+t）=3+6x-t=27-$\frac{18}{2t+1}$-t（t≥0）；
（2）设2t+1=m（m≥1），由（1）得，y=$\frac{55}{2}$-（$\frac{18}{m}$+$\frac{m}{2}$），
∵m≥01时，$\frac{18}{m}$+$\frac{m}{2}$≥2$\sqrt{9}$=6，
∴y≤$\frac{43}{2}$，
当且仅当$\frac{18}{m}$=$\frac{m}{2}$，即m=6，t=2.5（万元）时取等号，此时，y_max=$\frac{43}{2}$（万元）．
答：该厂家2016年的促销费用投入2.5万元时，厂家的利润最大，最大值为$\frac{43}{2}$万元．

点评 本题考查根据实际问题选择函数类型，考查基本不等式的运用，解题的关键是确定函数解析式．