Question

16．已知奇函数f（x）是R上的单调函数，若关于x的方程f（x²）+f（k-x）=0在[0，1]无实数解，则实数k的取值范围是{k|k＜0，或 k＞$\frac{1}{4}$}．

Answer 1

分析 由题意可得[0，1]上，方程x²-x+k=0无解，求得函数k=x-x²在[0，1]上的值域，再取补集，即得所求．

解答 解：奇函数f（x）是R上的单调函数，若关于x的方程f（x²）+f（k-x）=0在[0，1]无实数解，
在[0，1]上，不存在x的值，使f（x²）+f（k-x）=0，
∵函数f（x）是奇函数，又函数f（x）是R上的单调函数，
∴不存在x∈[0，1]的值，使x²=x-k，
即[0，1]上，方程x²-x+k=0无解．
由于函数k=x-x²在[0，1]上的值域为[0，$\frac{1}{4}$]，
则要求的实数k的取值范围是{k|k＜0，或 k＞$\frac{1}{4}$}，
故答案为：{k|k＜0，或 k＞$\frac{1}{4}$}．

点评 本题考察了函数的零点，函数的单调性，函数的奇偶性，属于中档题．