Question

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA=$\frac{4}{5}$，b=5c．
（1）求sinC；
（2）若△ABC的面积S=$\frac{3}{2}$sinBsinC，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理可求的a=3，进而根据cosA求得sinA，利用正弦定理即可求得sinC．
（2）根据b和c的关系，进而求得sinB和sinC的关系，把sinC代入面积公式求得三角形的面积，进而利用三角形面积公式求得 bcsinA=S，求得a

解答 解：（1）在△ABC中，∵a²=b²+c²-2bccosA=26c²-10c²×$\frac{4}{5}$=18c²，
∴a=3$\sqrt{2}$c，
∵cosA=$\frac{4}{5}$，
∵，0＜A＜π，
∴sinA=$\frac{3}{5}$，
∵$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴sinC=$\frac{csinA}{a}$=$\frac{c×\frac{3}{5}}{3\sqrt{2}c}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
（2）∵b=5c，
∴$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{b}{c}$=5，
∴sinB=5sinC，
∴S=$\frac{3}{2}$sinBsiS=nC=$\frac{15}{2}$sin²C=$\frac{3}{20}$，
∵S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{3}{2}$c²=$\frac{{a}^{2}}{12}$，
∴$\frac{{a}^{2}}{12}$=$\frac{3}{20}$，
∴a=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．涉及了三角形面积公式，三角函数中基本公式，考查了学生对知识的综合把握．