Question

6．已知函数f（x）=x²+2cosx，x∈（0，π），π＞a＞b＞0，设m=f（$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$），n=f（$\sqrt{ab}$），t=f（$\frac{a+b}{2}$），则m，n，t的大小关系为m＞t＞n．

Answer 1

分析 由导数判断出函数f（x）=x²+2cosx在（0，π）上为增函数，由不等式的性质得到$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$＞$\frac{a+b}{2}$＞$\sqrt{ab}$，由此得到m，n，t的大小．

解答 解：由f（x）=x²+2cosx，x∈（0，π），
得f′（x）=2x-2sinx=2（x-sinx）＞0在（0，π）上成立，
∴函数f（x）在（0，π）上为增函数，
又a＞b＞0，
∴$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$=$\sqrt{\frac{2（{a}^{2}+{b}^{2}）}{4}}$$＞\sqrt{\frac{（a+b）^{2}}{4}}$=$\frac{a+b}{2}＞\sqrt{ab}$，
则m＞t＞n．
故答案为：m＞t＞n．

点评 本题考查不等式的大小比较，训练了利用导数研究函数的单调性，考查了不等式的性质，是中档题．