Question

15．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinC=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．
（1）若a+b=5，求△ABC面积的最大值；
（2）若a=2，2sin²A+sinAsinC=sin²C，求b及c的长．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式得出ab的最大值，得出面积的最大值；
（2）利用正弦定理得出a，c的关系，列方程解出c，使用正弦定理解得sinA，利用余弦定理解出b．

解答 解：（1）∵a+b=5，
∴ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²=$\frac{25}{4}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}ab$sinC=≤$\frac{1}{2}×\frac{25}{4}×\frac{\sqrt{10}}{4}$=$\frac{25\sqrt{10}}{32}$．
（2）∵2sin²A+sinAsinC=sin²C，
∴2a²+ac=c²．即8+2c=c²，
解得c=4．
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，即$\frac{2}{sinA}=\frac{4}{\frac{\sqrt{10}}{4}}$，
解得sinA=$\frac{\sqrt{10}}{8}$．∴cosA=$\frac{3\sqrt{6}}{8}$．
由余弦定理得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{3\sqrt{6}}{8}$．即$\frac{{b}^{2}+12}{8b}=\frac{3\sqrt{6}}{8}$．
解得b=$\sqrt{6}$或2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了基本不等式，正余弦定理，属于中档题．