Question

3．在（x²-x+1）¹¹的展开式中，x³项的系数是-275．

Answer 1

分析 （x²-x+1）¹¹的展开式中，通项公式T_r+1=${∁}_{11}^{r}$（x²）^11-r（1-x）^r（r=0，1，2，…，11）．令11-r=0，11-r=1，解得r，再利用通项公式即可得出．

解答 解：（x²-x+1）¹¹的展开式中，通项公式T_r+1=${∁}_{11}^{r}$（x²）^11-r（1-x）^r（r=0，1，2，…，11）．
令11-r=0，解得r=11，则T₁₂=${∁}_{11}^{11}$（1-x）¹¹，（1-x）¹¹的通项公式T_k+1=${∁}_{11}^{k}（-x）^{k}$，令k=3，则可得：x³项的系数是-${∁}_{11}^{3}$×1=-165．
令11-r=1，解得r=10，则T₁₁=${∁}_{11}^{10}$x²（1-x）¹⁰，（1-x）¹⁰的通项公式T_k+1=${∁}_{10}^{k}（-x）^{k}$，令k=1，则可得：x³项的系数是-${∁}_{10}^{1}$×${∁}_{11}^{10}$=-110．
综上可得：x³项的系数是-165-110=-275．
故答案为：-275．

点评 本题考查了二项式定理的应用、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．