Question

13．向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$满足|k$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$|（k＞0），则$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$的最小值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 对|k$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$|两边平方，得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$关于k的函数，利用基本不等式即可求出最小值．

解答 解：|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，
∵|k$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$|，∴k²+2k$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+1=3（1-2k$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+k²）．
即k²-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+1=0．
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{{k}^{2}+1}{4k}$=$\frac{k}{4}+\frac{1}{4k}$≥2$\sqrt{\frac{1}{16}}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了平面向量的数量级运算，基本不等式的应用，属于中档题．