Question

5．如图所示，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E，F分别是BC，CC₁的中点．
（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）若该三棱柱所有的棱长均为2，求三棱锥B₁-AEF的体积．

Answer 1

分析 （I）由BB₁⊥平面ABC可知BB₁⊥AE，又AE⊥BC可得AE⊥平面BCC₁B₁，从而平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（II）由（1）知AE为棱锥A-B₁EF的高．于是V${\;}_{{B}_{1}-AEF}$=V${\;}_{A-{B}_{1}EF}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{B}_{1}EF}•AE$．

解答 解：（I）∵BB₁⊥面ABC，AE?平面ABC，
∴AE⊥BB₁，
∵E是正三角形ABC的边BC的中点，
∴AE⊥BC，
又∵BC?平面B₁BCC₁，B₁B?平面B₁BCC₁，BC∩BB₁=B，
∴AE⊥平面B₁BCC₁，∵AE?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面B₁BCC₁．
（II）∵三棱柱所有的棱长均为2，
∴AE=$\sqrt{3}$，
∴S${\;}_{△{B}_{1}EF}$=2×2-$\frac{1}{2}×2×1$-$\frac{1}{2}×1×1$$-\frac{1}{2}×2×1$=$\frac{3}{2}$，
由（I）知AE⊥平面B₁BCC₁
∴${V_{{B_1}-AEF}}={V_{A-{B_1}EF}}=\frac{1}{3}•\frac{3}{2}•\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．