Question

9．已知正实数x，y，z满足0≤log₂x-log${\;}_{\sqrt{2}}$y+log₂z≤1，且x+y≤2z，则$\frac{x-y}{z}$的取值范围为[-$\frac{1}{4}$，$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$]．

Answer 1

分析 通过对数运算法则化简已知条件，利用换元法结合线性规划求解所求表达式的范围即可．

解答 解：正实数x，y，z满足0≤log₂x-log${\;}_{\sqrt{2}}$y+log₂z≤1，且x+y≤2z，
可得：1≤$\frac{xz}{{y}^{2}}$≤2，$\frac{x}{z}+\frac{y}{z}≤2$，x，y，z＞0．
令$\frac{x}{z}=a$，$\frac{y}{z}=b$，
不等式转化为：1≤$\frac{a}{{b}^{2}}$≤2，0＜a+b≤2，
则$\frac{x-y}{z}$=a-b．
画出$\frac{1}{2}a≤{b}^{2}≤a$，0＜a+b≤2表示的可行域如图：

当t=a-b与b²=a相切时$\frac{x-y}{z}$取得最小值：
$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}=a}\\{t=a-b}\end{array}\right.$，可得b²-b-t=0，△=1+4t=0，解得t=-$\frac{1}{4}$．即：$\frac{x-y}{z}$≥$-\frac{1}{4}$
当t=a-b结果可行域的A时，取得最大值：此时$\left\{\begin{array}{l}{2{b}^{2}=a}\\{a+b=2}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{9-\sqrt{17}}{4}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{4}$），
可得$\frac{x-y}{z}$≤$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$．
$\frac{x-y}{z}$的取值范围为：[-$\frac{1}{4}$，$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$]．
故答案为：[-$\frac{1}{4}$，$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$]．

点评 本题考查线性规划的简单应用，换元法的应用，考查数形结合转化思想的应用．