Question

20．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，对于任意的n∈N^*都有S_n+1-3S_n-1=0．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n•a_n=n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由数列递推式可得数列{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，代入等比数列的通项公式得答案；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入b_n•a_n=n，然后利用错位相减法求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）由S_n+1-3S_n-1=0，①
得S_n-3S_n-1-1=0（n≥2），②
①-②得，a_n+1-3a_n=0（n≥2），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=3（n≥2）$，
又由S_n+1-3S_n-1=0，得a₁+a₂-3a₁-1=0，得a₂=2a₁+1=3．
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=3$，
∴数列{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，
则${a}_{n}={3}^{n-1}$；
（2）由b_n•a_n=n，得${b}_{n}=\frac{n}{{a}_{n}}=\frac{n}{{3}^{n-1}}$，
∴T_n =b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{{3}^{0}}+\frac{2}{{3}^{1}}+\frac{3}{{3}^{2}}+…+\frac{n}{{3}^{n-1}}$，①
则$\frac{1}{3}{T}_{n}=\frac{1}{{3}^{1}}+\frac{2}{{3}^{2}}+\frac{3}{{3}^{3}}+…+\frac{n-1}{{3}^{n-1}}+\frac{n}{{3}^{n}}$，②
$\frac{2}{3}{T}_{n}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{3}^{n-1}}-\frac{n}{{3}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}-\frac{n}{{3}^{n}}=\frac{3}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）-\frac{n}{{3}^{n}}$，
∴${T}_{n}=\frac{9}{4}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）-\frac{n}{2•{3}^{n-1}}$=$\frac{9}{4}-\frac{2n+3}{4•{3}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．