Question

17．给定集合A_n={1，2，3，…，n}，n∈N^*．若f是A_n→A_n的映射且满足：
①任取i，j∈A_n，若i≠j，则f（i）≠f（j）；
②任取m∈A_n，若m≥2，则有m∈{f（1），f（2），…，f（m）}．
则称映射f为A_n→A_n的一个“优映射”．
例如：用表1表示的映射f：A₃→A₃是一个“优映射”．
表一

i	1	2	3
F（i）	2	3	1

表2

i	1	2	3	4
F（i）		3

（1）若f：A₄→A₄是一个“优映射”，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；
（2）若f：A₂₀₁₅→A₂₀₁₅是“优映射”，且f（1004）=1，则f（1000）+f（1017）的最大值为2021．

Answer 1

分析 （1）根据“优映射”的定义可得，

i	1	2	3	4
f（i）	2	3	1	4

或

i	1	2	3	4
f（i）	2	3	4	1

．
（2）根据题意可得 只有当f（1000）=1004，f（101）=101时，f（1000）+f（1007）取得最大值．

解答 解：（1）

i	1	2	3	4
f（i）	2	3	1	4

或

i	1	2	3	4
f（i）	2	3	4	1

．
（2）根据优影射的定义，f：A₂₀₁₀→A₂₀₁₀是“优映射”，且f（1004）=1，则 对f（1000）+f（1007），
只有当f（1000）=1004，f（1017）=1017，f（1000）+f（1017）取得最大值为 1004+1017=2021，
故答案为：2021．

点评 本题考查映射的定义，“优映射”的定义，判断f（1）≠1，是解题的关键，是一道不错的创新题，属中档题．