Question

2．在数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{n+1}{2n}$a_n，n∈N^*
（1）求证：数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+1=$\frac{n+1}{2n}$a_n变形可知$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{a}_{n}}{n}$，进而可知数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是首项、公比均为$\frac{1}{2}$的等比数列；
（2）通过（1）可知${a_n}=\frac{n}{2^n}$，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 （1）证明：∵a_n+1=$\frac{n+1}{2n}$a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{a}_{n}}{n}$，
又∵$\frac{{a}_{1}}{1}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是首项、公比均为$\frac{1}{2}$的等比数列；
（2）解：由（1）可知$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，${a_n}=\frac{n}{2^n}$，
∴${S_n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+…+\frac{n}{2^n}$，
$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+2•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．