Question

10．如图，矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD，BE⊥DF．
（1）若M位EA的中点，求证：AC∥平面MDF；
（2）若AB=2，求四棱锥E-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）设EC与DF交于点N，连结MN，由中位线定理可得MN∥AC，故AC∥平面MDF；
（2）取CD中点为G，连结BG，EG，则可证四边形ABGD是矩形，由面面垂直的性质得出BG⊥平面CDEF，故BG⊥DF，又DF⊥BE得出DF⊥平面BEG，从而得出DF⊥EG，得出Rt△DEG～Rt△EFD，列出比例式求出DE，代入体积公式即可计算出体积．

解答 （1）证明：设EC与DF交于点N，连结MN，
∵矩形CDEF，∴点N为EC中点，
∵M为EA中点，
∴MN∥AC，又∵AC?平面MDF，MN?平面MDF
∴AC∥平面MDF．
（2）解：取CD中点为G，连结BG，EG，
∵$AB=\frac{1}{2}CD=DG，AB∥DG$，∠BAD=90°，
∴四边形ABGD是矩形，∴BG⊥CD．
∵平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD=CD，BG?平面ABCD，BG⊥CD，
∴BG⊥平面CDEF，同理ED⊥平面ABCD，
又∵DF?平面CDEF，
∴BG⊥DF，又BE⊥DF，BE∩BG=B，
∴DF⊥平面BEG，DF⊥EG．
∴Rt△DEG～Rt△EFD，∴DE²=DG•EF=8，$DE=2\sqrt{2}$，
∴${V_{E-ABCD}}=\frac{1}{3}{S_{ABCD}}•ED=4\sqrt{2}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，面面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．