Question

14．已知sin（α一β）=$\frac{3}{5}$，cos（α+β）=-$\frac{3}{5}$，且α-β∈（$\frac{π}{2}$，π），α+β∈（$\frac{π}{2}$，π），则cos2β的值为（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． $\frac{24}{25}$
• D． -$\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 由已知求出cos（α-β），sin（α+β）的值，再由cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]，展开两角差的余弦求解．

解答 解：由sin（α-β）=$\frac{3}{5}$，cos（α+β）=-$\frac{3}{5}$，且α-β∈（$\frac{π}{2}$，π），α+β∈（$\frac{π}{2}$，π），
得cos（α-β）=$-\sqrt{1-si{n}^{2}（α-β）}=-\sqrt{1-（\frac{3}{5}）^{2}}=-\frac{4}{5}$，sin（α+β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}=\sqrt{1-（-\frac{3}{5}）^{2}}=\frac{4}{5}$，
∴cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）+sin（α+β）sin（α-β）
=（-$\frac{4}{5}$）×（-$\frac{3}{5}$）+$\frac{4}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{24}{25}$．
故选：C．

点评 本题考查两角和与差的余弦，关键是“拆角配角”思想的运用，是中档题．