Question

11．已知等比数列{a_n}，满足a_n+1＞a_n，a₁+a₄=9，a₂•a₃=8．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{（2n-1）a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知求得a₁，a₄的值，进一步求得公比，代入等比数列的通项公式得答案；
（2）直接利用错位相减法求数列{（2n-1）a_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）在等比数列{a_n}中，
∵$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}+{a_4}=9}\\{{a_2}•{a_3}=8}\end{array}}\right.$，∴$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}+{a_4}=9}\\{{a_1}•{a_4}=8}\end{array}}\right.$，
解得：$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=1}\\{{a_4}=8}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=8}\\{{a_4}=1}\end{array}}\right.$（舍去），
∴${q^3}=\frac{a_4}{a_1}=8$，得q=2，
∴${a_n}={2^{n-1}}$；
（2）设${c_n}=（2n-1）•{2^{n-1}}$，
则T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=1+3•2+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1，①
$2{T_n}=1•2+3•{2^2}+…+（2n-3）•{2^{n-1}}+（2n-1）•{2^n}$，②
由①-②得：$-{T_n}=1+2•2+2•{2^2}+…+2•{2^{n-1}}-（2n-1）•{2^n}$
=1+2²+2³+…+2ⁿ-（2n-1）•2ⁿ
=2+2²+2³+…+2ⁿ-（2n-1）•2ⁿ-1
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}-（2n-1）•{2}^{n}-1$，
∴${T_n}=3+（2n-3）•{2^n}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．