Question

1．若点P（a，b）在不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≤0}\\{x-y-2≤0}\\{x≥1}\end{array}\right.$所表示的平面区域内，则原点O到直线ax+by-1=0的距离的取值范围是[$\frac{1}{2}$，1]．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，由点到直线的距离公式求出原点O到直线ax+by-1=0的距离为$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，结合$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$的几何意义得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≤0}\\{x-y-2≤0}\\{x≥1}\end{array}\right.$作出可行域如图，

原点O到直线ax+by-1=0的距离为$\frac{|-1|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，
由图可知$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$的最小值为|OA|=1，最大值为|OB|=2，
∴原点O到直线ax+by-1=0的距离的取值范围是[$\frac{1}{2}$，1]．
故答案为：[$\frac{1}{2}$，1]．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．