Question

13．如图，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据；
∠ACD=90°，∠ADC=60°，∠ACB=30°，∠BCE=105°，∠CEB=45°，DC=CE=2（百米）．
（1）求△CDE的面积；
（2）求A，B之间的距离．

Answer 1

分析 （1）利用周角定义求出∠DCE度数，再由CD与CE的长，利用三角形面积公式求出三角形CDE面积即可；
（2）连接AB，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出AC的长，在直角三角形BCE中，求出∠CBE度数，利用正弦定理求出BC的长，在三角形ABC中，利用余弦定理求出AB的平方即可．

解答 解：（1）在△CDE中，∠DCE=360°-90°-30°-105°=135°，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}$CD•CE•sin135°=$\frac{1}{2}$×2×2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$（平方百米）；
（2）连接AB，
根据题意知，在Rt△ACD中，AC=DC•tan∠ADC=2×tan60°=2$\sqrt{3}$（百米），
在△BCE中，∠CBE=180°-∠BCE-∠CEB=180°-105°-45°=30°，
由正弦定理得$\frac{BC}{sin∠CEB}$=$\frac{CE}{sin∠CBE}$，代入求得BC=2$\sqrt{2}$（百米），
在△ABC中，由余弦定理得：AB²=AC²+BC²-2AC•BCcos∠ACB，
则AB²=12+8-2×2$\sqrt{3}$×2$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=20-12$\sqrt{2}$，
∴AB=2$\sqrt{5-3\sqrt{2}}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．