Question

8．过定点A（1，1）作直线l与双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1交于P、Q两点，若A（1，1）是线段段PQ的中点，这样的直线存在吗？

Answer 1

分析 先假设存在这样的直线l，分类讨论：斜率存在和斜率不存在设出直线l的方程，①当k存在时，与双曲线方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，通过△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，可求k的范围，再由A是线段PQ的中点，则 $\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1，可求k，看是否矛盾，②当k不存在时，直线经过点B但不满足条件，故符合条件的直线l不存在，综合可求．

解答 解：设过点B（1，1）的直线方程为y=k（x-1）+1（当k存在时）或x=1（当k不存在时）．
①当k存在时，有$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）+1}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0 （1）
当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，
∴k＜$\frac{3}{2}$
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=$\frac{2（k-{k}^{2}）}{2-{k}^{2}}$，又A（1，1）为线段PQ的中点
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1，即$\frac{2（k-{k}^{2}）}{2-{k}^{2}}$=1
∴k=2
当k=2，使2-k²≠0但使△＜0
因此当k=2时，方程（1）无实数解
故过点A（1，1）与双曲线交于两点P、Q且B为线段PQ中点的直线不存在．
②当k不存在时，即当x=1时，直线经过点B，但不满足条件，
综上，符合条件的直线l不存在．

点评 本题考察了直线与双曲线的位置关系，特别是相交时的中点弦问题，方程的根与系数关系的应用，及利用方程思想判断直线与曲线位置关系．