Question

3．若f（x）=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}}{|x+a|-a}$是奇函数，则实数a的取值范围为（0，+∞）．

Answer 1

分析 由f（x）是奇函数得到f（-x）=-f（x），由此可以得到|x+a|+|a-x|=2a＞0，所以a得范围是（0，+∞）．

解答 解：∵f（x）=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}}{|x+a|-a}$是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}}{|a-x|-a}$=-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}}{|x+a|-a}$，
∴|x+a|-a=a-|a-x|，
∴|x+a|+|a-x|=2a＞0，
∴a＞0，
故答案为：（0，+∞）．

点评 本题考查由f（x）是奇函数得到f（-x）=-f（x），由此可以得到|x+a|+|a-x|=2a＞0，所以a得范围是（0，+∞）．