Question

18．在等差数列{a_n}中，前m项（m为奇数）之和为98，其中奇数项之和为56，且a_m-a₁=48．
（1）求等差数列{a_n}的通项公式；
（2）求$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}}$+…$\frac{1}{{a}_{m-1}{a}_{m}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由已知求得数列的偶数项的和，由奇数项和减去偶数项和求得中间项，再由前m项和求出m，结合a_m-a₁=48求得公差，代入前m项和求得首项，则等差数列的通项公式可求；
（2）由$\frac{1}{{a}_{m-1}{a}_{m}}=\frac{1}{（8m-26）（8m-18）}$=$\frac{1}{8}（\frac{1}{8m-26}-\frac{1}{8m-18}）$，利用裂项相消法求得$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}}$+…$\frac{1}{{a}_{m-1}{a}_{m}}$的值．

解答 解：（1）∵等差数列{a_n}的前m项（m为奇数）之和为98，其中奇数项之和为56，
∴其中偶数项的和为98-56=42，
∴中间项为56-42=14，
则14m=98，得m=7，
又a_m-a₁=48，
∴a₇-a₁=6d=48，则d=8，
代入$7{a}_{1}+\frac{7×6×8}{2}=98$，得a₁=-10．
∴a_n=-10+8（n-1）=8n-18；
（2）∵$\frac{1}{{a}_{m-1}{a}_{m}}=\frac{1}{（8m-26）（8m-18）}$=$\frac{1}{8}（\frac{1}{8m-26}-\frac{1}{8m-18}）$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}}$+…$\frac{1}{{a}_{m-1}{a}_{m}}$=$\frac{1}{8}（\frac{1}{-18}-\frac{1}{-10}+\frac{1}{-10}-\frac{1}{-2}+…+\frac{1}{8m-26}-\frac{1}{8m-18}）$
=$\frac{1}{8}（-\frac{1}{18}-\frac{1}{8m-18}）=\frac{m}{36（9-4m）}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．