Question

14．已知数列{a_n}是首项和公差相等的等差数列，其前n项和为S_n，且S₁₀=55．
（Ⅰ）求a_n和S_n；
（Ⅱ）设${b_n}=\frac{1}{S_n}$，数列{b_n}的前项和T_n，求T_n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）S₁₀=a₁+a₂+…+a₁₀=55，求得55d=55，可解得a₁=d=1，写出通项公式和前n项和公式；
（2）由（1）写出数列{b_n}的通项公式，采用裂项法求出T_n的值，可判断T_n的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，则a₁=d，a_n=a₁+（n-1）d=nd，
由S₁₀=a₁+a₂+…+a₁₀=55d=55，解得d=1，
所以a_n=n，则${S_n}=\frac{1+n}{2}×n=\frac{1}{2}n（n+1）$．（4分）
（Ⅱ）可得${b_n}=\frac{2}{n（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，（6分）
所以${T_n}=2（\frac{1}{1}-\frac{1}{2}）+2（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+2（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+2（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）=2（1-\frac{1}{n+1}）=\frac{2n}{n+1}$，（8分）
由于$2（1-\frac{1}{n+1}）$为随n的增大而增大，可得1≤T_n＜2．
即T_n的取值范围是[1，2）．（12分）

点评 本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式及采用裂项法求数列的前n项和，过程简单，属于中档题．