Question

17．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：3x+2y-8=0，圆M：（x-3）²+（y-2）²=1．
（1）设A，B分别为直线l与圆M上的点，求线段AB长度的取值范围；
（2）试直接写出一个圆N（异于圆M）的方程（不必写出过程），使得过直线l上任一点P均可作圆M与圆N的切线，切点分别为T_M，T_N，且PT_M=PT_N；
（3）求证：存在无穷多个圆N（异于圆M），满足对每一个圆N，过直线l上任一点P均可作圆M与圆N的切线，切点分别为T_M，T_N，且PT_M=PT_N．

Answer 1

分析 （1）利用圆心到直线的距离以及垂径定理集合圆的直径求解即可．
（2）判断圆的位置关系，写出方程即可．
（3）设圆N：（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0，a≠3），利用PT_M=PT_N，推出2a-3b）x+r²-a²-b²+8b-4=0．列出方程组，化简证明即可．

解答 解：（1）易得圆心M（3，2）到直线l：3x+2y-8=0的距离$d=\frac{{|{3×3+2×2-8}|}}{{\sqrt{{3^2}+{2^2}}}}=\frac{5}{{\sqrt{13}}}＞1=r$，
故直线l与圆M相离，从而$AB\;≥\;\frac{{5\sqrt{13}}}{13}-1$，
所以线段AB长的取值范围是$[{\frac{{5\sqrt{13}}}{13}-1\;，\;\;+∞}）$．（5分）
（2）易得圆M关于直线l对称的圆必满足题意，
故满足题意的一个圆N的方程为：$（x-\frac{6}{13}）^{2}+（y-\frac{9}{13}）^{2}=1$．（8分）
（3）设圆N：（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0，a≠3），
由PT_M=PT_N，
得PM²-1=PN²-r²，即（x-3）²+（y-2）²-1=（x-a）²+（y-b）²-r²，（10分）
整理得，2（a-3）x+（b-2）•2y+r²+12-a²-b²=0，
因为3x+2y-8=0，所以2y=8-3x，
从而2（a-3）x+（b-2）•（8-3x）+r²+12-a²-b²=0，
整理得，（2a-3b）x+r²-a²-b²+8b-4=0，（13分）
因为上式对任意的x∈R恒成立，所以$\left\{\begin{array}{l}2a-3b=0\;，\;\;\\{r^2}-{a^2}-{b^2}+8b-4=0\;，\;\;\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}b=\frac{2}{3}a\;，\;\;\\{r^2}=\frac{13}{9}{a^2}-\frac{16}{3}a+4\;＞0（a≠3），\;\;\end{array}\right.$
所以圆N的方程为：${（x-a）^2}+{（{y-\frac{2}{3}a}）^2}=\frac{13}{9}{a^2}-\frac{16}{3}a+4$，即证．（16分）

点评 本题考查圆的方程的综合应用，对称知识以及圆的切线的应用，考查分析问题解决问题的能力．