Question

10．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（sinx，-cosx），记函数f（x）=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+1，其中x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及函数f（x）的图象的对称中心的坐标；
（Ⅱ）若α∈（0，$\frac{π}{2}$），且f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{2}{3}$，求cos2α的值．

Answer 1

分析 （I）根据平面向量的数量级定义得出f（x）解析式并利用二倍角公式化简，根据正弦函数的性质列出方程解出对称中心；
（II）由f（$\frac{α}{2}$）可得cosα-sinα，两边平方得出2sinαcosα，从而得出cosα+sinα，代入二倍角公式即可求得cos2α．

解答 解：f（x）=2（sinxcosx-cos²x）+1=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
令2x-$\frac{π}{4}$=kπ，解得x=$\frac{π}{8}+\frac{kπ}{2}$，
∴函数f（x）的图象的对称中心的坐标是（$\frac{π}{8}+\frac{kπ}{2}$，0）．
（Ⅱ）∵f（$\frac{α}{2}$）=sinα-cosα=$\frac{2}{3}$，∴1-2sinαcosα=$\frac{4}{9}$，
∴2sinαcosα=$\frac{5}{9}$．
∴（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=$\frac{14}{9}$，
∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），∴sinα+cosα=$\frac{\sqrt{14}}{3}$．
又cosα-sinα=-$\frac{2}{3}$，
∴cos2α=cos²α-sin²α=（cosα+sinα）（cosα-sinα）=-$\frac{2\sqrt{14}}{9}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．