Question

19．已知等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=1，且a₂-$\frac{1}{2}$，a₃，a₆-$\frac{1}{2}$成等比数列．
（Ⅰ）求a_n的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）通过首项和公差表示出通项公式a_n=1+（n-1）d（d＞0），利用a₂-$\frac{1}{2}$，a₃，a₆-$\frac{1}{2}$成等比数列得到关于d的方程，解方程可得公差d，进而可得结论；
（II）通过（I）裂项可知b_n=$\frac{4}{3}$（$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$），进而并项相加即得结论．

解答 解：（I）由题意设a_n=1+（n-1）d（d＞0），
∵a₂-$\frac{1}{2}$，a₃，a₆-$\frac{1}{2}$成等比数列，
∴${（1+2d）^2}=（1+d-\frac{1}{2}）（1+5d-\frac{1}{2}）$，
解得：$d=\frac{3}{2}，{a_n}=\frac{3n-1}{2}$；
（II）由（I）可知b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{4}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{4}{3}$（$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$），
∴S_n=$\frac{4}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$）=$\frac{4}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3n+2}$）=$\frac{2n}{3n+2}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．