Question

7．已知函数f（x）=ax²+blnx+c（a，b，c∈R）的图象在点（e，1）处的切线过原点．
（1）若a=1，证明f（x）-lnx＞0；
（2）若对任意x＞0，都有f（x）≤kx+m≤xf（x），求k，m的值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，可得在点（e，1）处的切线的斜率，由题意可得f（e）=1，由a=1，可得b，c，再由g（x）=f（x）-lnx=x²-2e²lnx+e²，求出导数，判断单调性，即可得证；
（2）由题意可得f（1）≤k+m≤f（1），即有f（1）=k+m，即为k+m=a+c，由条件可得kx²+（m-k）x-m≥0，可得k＞0，且（m-k）²+4km≤0，求得k+m=0，再由lnx≤x-1≤xlnx，即可得到k=1，m=-1．

解答 解：（1）证明：函数f（x）=ax²+blnx+c的导数为f′（x）=2ax+$\frac{b}{x}$，
可得在点（e，1）处的切线的斜率为2ae+$\frac{b}{e}$，
由题意可得f（e）=1，即ae²+b+c=1，
又2ae+$\frac{b}{e}$=$\frac{1}{e}$，a=1，
解得b=1-2e²，c=e²，
g（x）=f（x）-lnx=x²-2e²lnx+e²，
g′（x）=2x-2e²•$\frac{1}{x}$，
当x＞e时，g′（x）＞0，g（x）递增；
当0＜x＜e时，g′（x）＜0，g（x）递减．
即有x=e处g（x）取得最小值，且为0，
可得g（x）≥0，即有f（x）-lnx≥0，
则原不等式成立；
（2）由题意可得f（1）≤k+m≤f（1），
即有f（1）=k+m，即为k+m=a+c，
由（1）可得，k+m=a+ae²，
又f（x）≤kx+m
且f（x）≥k+$\frac{m}{x}$，
即为kx+m≥k+$\frac{m}{x}$，即有kx²+（m-k）x-m≥0，
可得k＞0，且（m-k）²+4km≤0，即（m+k）²≤0，
可得m+k=0，
解得a=0，b=1-2ae²=1，c=ae²=0，
则f（x）=lnx，
由lnx≤kx+m≤xlnx恒成立，可得
lnx≤k（x-1）≤xlnx恒成立，
由lnx-（x-1）的导数为$\frac{1}{x}$-1，
当x＞1时，lnx-（x-1）递减，0＜x＜1时，lnx-（x-1）递增，
可得lnx-（x-1）≤0，即lnx≤x-1；
又xlnx-（x-1）的导数为1+lnx-1=lnx，
当x＞1时，xlnx-（x-1）递增，0＜x＜1时，xlnx-（x-1）递减，
可得xlnx-（x-1）≥0，即有xlnx≥x-1，
故lnx≤x-1≤xlnx．
可得k=1，m=-1．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用特殊值法和构造函数，运用单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．