Question

2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²-n，n∈N₊．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由数列的前n项和求得首项，再由a_n=S_n-S_n-1求得n≥2时的通项公式，验证首项后得答案；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+1，分组后利用等比数列的前n项和得答案．

解答 解：（1）由S_n=n²-n，得a₁=S₁=0；
当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={n}^{2}-n-[（n-1）^{2}-（n-1）]$=2n-2；
验证n=1时成立，
∴a_n=2n-2；
（2）b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+1=2^2n-2+1=4^n-1+1，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=4⁰+1+4¹+1+4²+1+…+4^n-1+1
=（1+4+4²+…+4^n-1）+n=$\frac{1×（1-{4}^{n}）}{1-4}+n=\frac{{4}^{n}}{3}+n-\frac{1}{3}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列的分组求和，训练了等比数列的前n项和，是中档题．