Question

17．设数列{a_n}的前项和为S_n，已知2S_n=2na_n-n（n-1）（n∈N^*），且S₆＞a₁a₉，则a₁的值范围是（　　）

• A． （-5，3）
• B． （-3，5）
• C． （-15，1）
• D． （-1，15）

Answer 1

分析 由已知数列递推式可得数列{a_n}是公差为1的等差数列，把S₆＞a₁a₉化为含有a₁的一元二次不等式求解．

解答 解：由2S_n=2na_n-n（n-1），①
得2S_n-1=2（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2）（n≥2），②
①-②得：2（n-1）（a_n-a_n-1-1）=0（n≥2），
∴a_n-a_n-1=1（n≥2），
则数列{a_n}是公差为1的等差数列，
由S₆＞a₁a₉，
得$6{a}_{1}+\frac{6×5×1}{2}＞{a}_{1}（{a}_{1}+8）$，
整理得：${{a}_{1}}^{2}+2{a}_{1}-15＜0$，
解得：-5＜a₁＜3．
∴则a₁的值范围是（-5，3）．
故选：A．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列前n项和的求法，考查一元二次不等式的解法，是中档题．