Question

19．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=3a_n-1．
（1）求数列{a_n]的通项a_n；
（2）数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=a_n+b_n，记c_n=$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n+1}+1）•{b}_{n}}$，求{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）当n=1时，求得a₁=1，2S_n=3a_n-1，当n≥2，2S_n-1=3a_n-1-1，化简得a_n=3a_n-1，进而得到a_n=3^n-1；
（2）根据b_n+1-b_n=3^n-1，采用累加法求得数列{b_n}的通项公式，${b}_{n}=\frac{{3}^{n-1}}{2}+\frac{1}{2}$，c_n=$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n+1}+1）•{b}_{n}}$，化简整理得到数列{c_n}的通项公式，c_n=$\frac{1}{{3}^{n-1}+1}-\frac{1}{{3}^{n}+1}$，
即可得到T_n．

解答 解：（1）数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=3a_n-1，
当n=1，a₁=1，
当n≥2时，2S_n-1=3a_n-1-1，
两式相减：2a_n=3a_n-3a_n-1，
a_n=3a_n-1，
数列{a_n}的通项a_n，a_n=3^n-1；
（2）数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=a_n+b_n，
b_n+1-b_n=3^n-1，
b₂-b₁=1，
b₃-b₂=3，
${b}_{4}-{b}_{3}={3}^{2}$，
…
b_n-b_n-1=3^n-2，
以上各式相加得：
b_n-b₁=1+3+3²+3³+…+3^n-2，
∴${b}_{n}=\frac{{3}^{n-1}}{2}+\frac{1}{2}$，
c_n=$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n+1}+1）•{b}_{n}}$=$\frac{2•{3}^{n-1}}{（{3}^{n-1}+1）（{3}^{n}+1）}$=$\frac{1}{{3}^{n-1}+1}-\frac{1}{{3}^{n}+1}$，
{c_n}的前n项和T_n，T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，
=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{10}$）+（$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{28}$）+…+（$\frac{1}{{3}^{n-1}+1}-\frac{1}{{3}^{n}+1}$），
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{3}^{n}+1}$，
=$\frac{{3}^{n}-1}{2（{3}^{n}+1）}$．
∴T_n=$\frac{{3}^{n}-1}{2（{3}^{n}+1）}$．

点评 本题是一道数列与不等式的综合题，考查数列的通项、求和等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．