Question

6．如图，正四棱锥P-ABCD的底面一边AB长为$2\sqrt{3}cm$，侧面积为$8\sqrt{3}c{m^2}$，则它的体积为4．

Answer 1

分析 作出棱锥的高PO，则O为底面中心，作OE⊥AB于E，根据侧面积计算PE，利用勾股定理计算PO，带入体积公式计算体积．

解答 解：过P作底面ABCD的垂线PO，则O为底面正方形ABCD的中心，
过O作OE⊥AB于E，连结PE．则OE=$\frac{1}{2}AB$=$\sqrt{3}$．
∵PO⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PO⊥AB，
又AB⊥OB，PO?平面POE，OE?平面POE，PO∩OE=O，
∴AB⊥平面POE，∵PE?平面POE，
∴AB⊥PE．
∴正四棱锥的侧面积S_侧=4S_△PAB=4×$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×PE$=8$\sqrt{3}$，
解得PE=2．
∴PO=$\sqrt{P{E}^{2}-O{E}^{2}}$=1．
∴正四棱锥的体积V=$\frac{1}{3}$S_{正方形ABCD}•PO=$\frac{1}{3}×$（2$\sqrt{3}$）²×1=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了正四棱锥的结构特征，棱锥的体积计算，属于基础题．