Question

15．已知集合M={1，2，3，…，n，n+1}（n≥2，n∈N），M₁，M₂，M₃，…，M_S（k）是M的k+1元子集（k∈N，k≤n）
（1）若n=9，k=1，且满足M_i（i∈{1，2，…，S（k）}中各元素之和是3的倍数，求S（k）的值；
（2）若满足M（i∈{1，2，…，S（k）}中必含有元素3，
①求S（k）的表达式；
②设b_k=（-1）^k+1$\frac{k+1}{n-k}$S（k+1），T_m=b₀+b₁+b₂+…+b_m（m∈N^*，m≤n-1），求|$\frac{{T}_{m}}{{C}_{n-1}^{m}}$|的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用列举法写出集合M的所有2元子集求得S（k）的值；
（2）①S（k）是从除3外的n个元素中任取k个元素的组合数；
②由组合数的阶乘公式可得b_k=（-1）^k+1•${C}_{n}^{k}$，再由组合数的性质，可得当1≤k≤n-1时，b_k=（-1）^k+1•${C}_{n}^{k}$=（-1）^k+1•（${C}_{n-1}^{k}+{C}_{n-1}^{k-1}$）
=（-1）^k+1•${C}_{n-1}^{k}$+（-1）^k+1•${C}_{n-1}^{k-1}$=（-1）^k-1•${C}_{n-1}^{k-1}$-（-1）^k•${C}_{n-1}^{k}$，讨论m=0和1≤m≤n-1时，计算化简即可得到所求值．

解答 解：（1）n=9，k=1时，M={1，2，3，…，10}，
满足条件的2元子集为{1，2}，{1，5}，{1，8}，{2，4}，{2，8}，{2，10}，{3，6}，{3，9}，{4，5}，{4，8}，{5，7}，{5，10}，{6，9}，{7，8}，{8，10}共15个，故S（k）=15；
（2）①M_i（i∈{1，2，…，S（k）}中比含有元素3，
当k=0时，S（k）=1；
当k=1时，S（k）=n；
当k=2时，S（k）=${C}_{n}^{2}$；
…
当k=n时，S（k）=${C}_{n}^{n}$．
∴S（k）=${C}_{n}^{k}$；
②b_k=（-1）^k+1$\frac{k+1}{n-k}$S（k+1）=$（-1）^{k+1}\frac{k+1}{n-k}•{C}_{n}^{k+1}$
=$（-1）^{k+1}\frac{k+1}{n-k}•\frac{n!}{（k+1）!•（n-k-1）!}$=$（-1）^{k+1}\frac{n!}{k!（n-k）!}$=$（-1）^{k+1}{C}_{n}^{k}$，
∴当1≤k≤n-1时，b_k=（-1）^k+1•${C}_{n}^{k}$=（-1）^k+1•（${C}_{n-1}^{k}+{C}_{n-1}^{k-1}$）
=（-1）^k+1•${C}_{n-1}^{k}$+（-1）^k+1•${C}_{n-1}^{k-1}$=（-1）^k-1•${C}_{n-1}^{k-1}$-（-1）^k•${C}_{n-1}^{k}$，
当m=0时，|$\frac{{T}_{m}}{{C}_{n-1}^{m}}$|=|$\frac{{b}_{0}}{{C}_{n-1}^{0}}$|=1；
当1≤m≤n-1时，T_m=b₀+b₁+b₂+…+b_m=-1+$\sum_{k=1}^{m}$[（-1）^k-1•${C}_{n-1}^{k-1}$-（-1）^k•${C}_{n-1}^{k}$]
=-1+1-（-1）^m ${C}_{n-1}^{m}$=-（-1）^m ${C}_{n-1}^{m}$，
即有|$\frac{{T}_{m}}{{C}_{n-1}^{m}}$|═1．
综上可得，|$\frac{{T}_{m}}{{C}_{n-1}^{m}}$|=1．

点评 本题考查数列求和，考查了二项式定理和性质的运用，考查组合数公式和性质的运用，训练了运算能力，属于中档题．