Question

11．如图，在四棱锥P-ABCD中，已知棱AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2．若$\overrightarrow{DC}$=λ$\overrightarrow{AB}$，且向量$\overrightarrow{PC}$与$\overrightarrow{BD}$夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
（1）求实数λ的值；
（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件即可建立坐标系：以A为坐标原点，分别以边AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，然后即可根据已知条件求出点P，A，B，C，D点的坐标，利用向量$\overrightarrow{PC}$与$\overrightarrow{BD}$夹角的余弦值为求出λ的值．
（2）求出平面PCD的法向量，利用向量夹角的余弦公式求解直线PB与平面PCD所成角的正弦值．

解答 解：以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；
则：A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2）；$\overrightarrow{DC}$=λ$\overrightarrow{AB}$，可得C（λ，2，0）．
（1）$\overrightarrow{PC}$=（λ，2，-2），$\overrightarrow{BD}$=（-1，2，0），向量$\overrightarrow{PC}$与$\overrightarrow{BD}$夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
可得$\frac{\sqrt{15}}{15}$=$\frac{-λ+4}{\sqrt{{λ}^{2}+8}•\sqrt{1+4}}$，解得λ=10（舍去）或λ=2．
实数λ的值为2．；
（2）$\overrightarrow{PC}$=（2，2，-2），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2），平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）．
则$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0$且$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=0$，即：x+y-z=0，y-z=0，∴x=0，不妨去y=z=1，
平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，1）．又$\overrightarrow{PB}$=（1，0，2）．
故cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{PB}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{PB}|}$=$-\frac{\sqrt{10}}{5}$．
直线PB与平面PCD所成角的正弦值为：$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 考查建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成角，直线和平面所成角的方法，能求空间点的坐标，向量坐标的数乘运算，向量夹角余弦的坐标公式，理解平面法向量的概念，弄清直线和平面所成角，与直线的方向向量和法向量所成角的关系．