Question

15．已知定义域为（1，+∞）的函数f（x）的导函数为f′（x），且f（e）=2，$\frac{f（x）}{x}$=lnx•f′（x），则不等式xf（x）＜2e的解集为（1，e）．

Answer 1

分析 首先分析等式$\frac{f（x）}{x}$=lnx•f′（x），构造g（x）=$\frac{f（x）}{lnx}$，求导发现g（x）为常数函数，因此得到f（x）的解析式，然后判断xf（x）的单调性，从而得到所求．

解答 解：设g（x）=$\frac{f（x）}{lnx}$，则g'（x）=$\frac{f'（x）lnx-\frac{f（x）}{x}}{（lnx）^{2}}$，因为$\frac{f（x）}{x}$=lnx•f′（x），所以g'（x）=0，所以g（x）=c，又f（e）=2，所以g（e）=2，所以g（x）=2，所以f（x）=2lnx，
所以不等式xf（x）＜2e为xlnx＜elne，
又x＞1时，（xlnx）'=lnx+1＞0，所以函数y=xlnx为增函数，所以1＜x＜e，
不等式xf（x）＜2e的解集为（1，e）；
故答案为：（1，e）．

点评 本题考查了构造法求函数的解析式，以及利用导数判定函数的单调性；属于难题．