Question

5．滨湖区拟建一主题游戏园，该游戏园为四边形区域ABCD，其中三角形区城ABC为主题活动区，其中∠ACB=60°，∠ABC=45°，AB=12$\sqrt{6}$m；AD、CD为游客通道（不考虑宽度），且∠ADC=120°，通道AD、CD围成三角形区域ADC为游客休闲中心，供游客休憩．
（1）求AC的长度；
（2）记游客通道AD与CD的长度和为L，求L的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理，求AC的长度．
（2）求出AD，CD，可得出L关于θ的关系式，化简后求L的最大值．

解答 解：（1）由已知由正弦定理，得$\frac{AB}{sin∠ACB}=\frac{AC}{sin∠B}$，又∠ACB=60°，∠ABC=45°，AB=12$\sqrt{6}$cm，所以AC=$\frac{12\sqrt{6}sin45°}{sin60°}$=24m．
（2）因为∠ADC=120°∠CAD=θ，∠ACD=60°-θ，
在△ADC中，由正弦定理得到$\frac{AC}{sin120°}=\frac{CD}{sinθ}=\frac{AD}{sin（60°-θ）}$，
所以L=CD+AD=16$\sqrt{3}$[sin（60°-θ）+sinθ]=16$\sqrt{3}$[sin60°cosθ-cos60°sinθ+sinθ]=16$\sqrt{3}$sin（60°+θ），
因0°＜θ＜60°，当θ=30°时，L取到最大值 16$\sqrt{3}$m．

点评 本题考查正弦定理，考查三角函数的化简，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．