Question

15．已知函数f（x）=$\sqrt{{x^2}-ax+3a}$，对于任意x≥2，当△x＞0时，恒有f（x+△x）＞f（x），则实数a的取值范围是[-4，4]．

Answer 1

分析 由题意可得函数单调递增，结合图象可得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{-a}{2×1}≤2}\\{{2}^{2}-2a+3a≥0}\end{array}\right.$，解关于a的不等式组可得．

解答 解：∵函数f（x）=$\sqrt{{x^2}-ax+3a}$，对于任意x≥2，当△x＞0时，恒有f（x+△x）＞f（x），
∴函数f（x）=$\sqrt{{x^2}-ax+3a}$在x≥2时单调递增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{-a}{2×1}≤2}\\{{2}^{2}-2a+3a≥0}\end{array}\right.$，解得-4≤a≤4
故答案为：[-4，4]

点评 本题考查函数的单调性和恒成立问题，转化为二次函数的单调性是解决问题的关键，属中档题．