Question

7．（B）已知等比数列{a_n}，首项为3，公比为$\frac{2}{5}$，前n项之积最大，则n=3．

Answer 1

分析 a_n=3×$（\frac{2}{5}）^{n-1}$，可得前n项之积T_n=$[3×（\frac{2}{5}）^{\frac{n-1}{2}}]^{n}$，对n分类讨论，底数$3×（\frac{2}{5}）^{\frac{n-1}{2}}$与1比较大小关系即可得出．

解答 解：a_n=3×$（\frac{2}{5}）^{n-1}$，
∴前n项之积T_n=3ⁿ×$（\frac{2}{5}）^{0+1+2+…+（n-1）}$=${3}^{n}×（\frac{2}{5}）^{\frac{n（n-1）}{2}}$=$[3×（\frac{2}{5}）^{\frac{n-1}{2}}]^{n}$，
由于n≤3时，$3×（\frac{2}{5}）^{\frac{n-1}{2}}$≥1；由于n≥4时，$3×（\frac{2}{5}）^{\frac{n-1}{2}}$＜1．
∴n=3时，前n项之积最大，
故答案为：3．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、指数函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．