Question

10．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且cos（B-C）-2sinBsinC=-$\frac{1}{2}$．
（1）求角A的大小；
（2）当a=5，b=4时，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）将cos（B-C）-2sinBsinC=-$\frac{1}{2}$．利用两角合成的余弦公式进行化简，得得cos（B+C）=-$\frac{1}{2}$，由A=π-（B+C），sinA=-cos（B+C）=$\frac{1}{2}$；
（2）由余弦定理可知，a²=b²+c²-2bccosA，解得：c的值，三角形的面积公式S=$\frac{1}{2}bcsinA$可求得．

解答 （1）由cos（B-C）-2sin Bsin C=-$\frac{1}{2}$得cos（B+C）=-$\frac{1}{2}$，…（4分）
∴cos A=$\frac{1}{2}$，∵0＜A＜π，∴A=$\frac{π}{3}$；…（7分）
（2）由a²=b²+c²-2bccosA，
∴c²+4²-2×c×4 cos $\frac{π}{3}$=5²，
∵c＞0，得c=2+$\sqrt{13}$，…（11分）
△ABC的面积S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×（2+$\sqrt{13}$）×sin$\frac{π}{3}$=2$\sqrt{3}$+$\sqrt{39}$．…（14分）

点评 本题考查两角和差的余弦公式、余弦定理及三角形的面积公式，属于中档题．