Question

8．某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24πcm，高为30cm，圆锥的母线长为20cm．
（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1cm³）；
（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？

Answer 1

分析 （1）笼具的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积；
（2）求出笼具的表面积即可，笼具的表面积包括圆柱的侧面，上底面和圆锥的侧面．

解答 解：（1）设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的母线长为l，高为h₁，则2πr=24π，解得r=12cm．h₁=$\sqrt{2{0}^{2}-1{2}^{2}}=16$cm．
∴笼具的体积V=πr²h-$\frac{1}{3}π{r}^{2}{h}_{1}$=π×（12²×30-$\frac{1}{3}$×12²×16）=3552π≈11158.9cm³．
（2）圆柱的侧面积S₁=2πrh=720cm²，
圆柱的底面积S₂=πr²=144πcm²，
圆锥的侧面积为πrl=240πcm²．
故笼具的表面积S=S₁+S₂+S₃=1104πcm²．
故制造50个这样的笼具总造价为：$\frac{1104π×50×8}{1{0}^{4}}=\frac{1104π}{25}$元．
答：这种笼具的体积约为11158.9cm³，生产50个笼具需要$\frac{1104π}{25}$元．

点评 本题考查了圆柱，圆锥的表面积和体积计算，属于基础题．