Question

20．若S_n为数列{a_n}的前n项和，且a₁=1，S_n=$\frac{1}{2}$a_na_n+1，a_n≠0，若数列{$\frac{1}{2{S}_{n}}$}的前n项和T_n=$\frac{2016}{2017}$，则n的值为2016．

Answer 1

分析 通过S_n=$\frac{1}{2}$a_na_n+1与S_n-1=$\frac{1}{2}$a_n-1a_n作差，整理可知a_n+1-a_n-1=2，进而a_n=n，通过裂项可知$\frac{1}{2{S}_{n}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，进而并项相加可知T_n=$\frac{n}{n+1}$，对比即得结论．

解答 解：∵S_n=$\frac{1}{2}$a_na_n+1，
∴当n≥2时，S_n-1=$\frac{1}{2}$a_n-1a_n，
两式相减得：a_n=$\frac{1}{2}$a_na_n+1-$\frac{1}{2}$a_n-1a_n，
又∵a_n≠0，
∴a_n+1-a_n-1=2，
又∵a₁=1，a₂=2，
∴数列{a_n}的奇数项是首项为1、公差为2的等差数列，
偶数项是首项、公差均为2的等差数列，
∴a_n=n，S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{2{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
又∵T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{2016}{2017}$，
∴1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{2016}{2017}$，即$\frac{n}{n+1}$=$\frac{2016}{2017}$，
∴n=2016，
故答案为：2016．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．