Question

3．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面为正三角形，E、F分别是BC、CC₁的中点．
（1）证明：平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（2）若D为AB中点，∠CA₁D=45°且AB=2，求三棱锥F-AEC的体积．

Answer 1

分析 （1）由直棱柱可得BB₁⊥平面ABC，得出BB₁⊥AE，由等边三角形性质可得AE⊥BC，故而AE⊥平面BCC₁B₁，于是平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（2）由（1）的证明同理可得CD⊥平面ABB₁A₁，故而CD⊥A₁D，∴A₁D=CD，利用勾股定理求出AA₁从而得出棱锥的高CF，代入棱锥的体积公式计算即可．

解答 （1）证明：∵B₁B⊥平面ABC，AE?平面ABC，
∴B₁B⊥AE，
∵△ABC是等边三角形，E是BC的中点，
∴AE⊥BC，又BC?平面BCC₁B₁，B₁B?平面BCC₁B₁，B₁B∩BC=B，
∴AE⊥平面BCC₁B₁，又AE?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面B₁BCC₁．
（2）由（1）可知CD⊥平面ABB₁A₁，A₁D?平面ABB₁A₁，
∴CD⊥A₁D，
∵AB=AC=BC=2，D是AB的中点，E是BC的中点，
∴AE=CD=$\sqrt{3}$，AD=CE=1，
∵∠CA₁D=45°，∴A₁D=CD=$\sqrt{3}$，
∴AA₁=$\sqrt{{A}_{1}{D}^{2}-A{D}^{2}}=\sqrt{2}$，
∵F是C₁C的中点，
∴FC=$\frac{1}{2}{C}_{1}C=\frac{1}{2}{A}_{1}A=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴V_F-ACE=$\frac{1}{3}{S}_{△ACE}•FC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{12}$．

点评 本题考查了正三棱柱的结构特征，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．