Question

19．若（2x-1）²⁰¹⁶=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₆x²⁰¹⁶（x∈R），则$\frac{1}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}{a}_{1}}$+…+$\frac{{a}_{2016}}{{2}^{2016}{a}_{1}}$=（　　）

• A． -$\frac{1}{2015}$
• B． $\frac{1}{2016}$
• C． -$\frac{1}{4030}$
• D． $\frac{1}{4032}$

Answer 1

分析 根据二项式定理可得a₁=-2×2016，a₀=1．在已知等式中令x=$\frac{1}{2}$，可得a₀+$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{2016}}{{2}^{2016}}$=0，$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{2016}}{{2}^{2016}}$=2015，即可得出．

解答 解：根据二项式定理可得a₁=-2×2016，a₀=1．
在已知等式中令x=$\frac{1}{2}$，可得a₀+$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{2016}}{{2}^{2016}}$=0，
∴$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{2016}}{{2}^{2016}}$=2015，
∴$\frac{1}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}{a}_{1}}$+…+$\frac{{a}_{2016}}{{2}^{2016}{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2×2016}$×2015=$\frac{2016-2015}{4032}$=$\frac{1}{4032}$，
故选：D．

点评 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．