Question

4．[A]已知数列{a_n}满足a₄=20，a_n+1=2a_n-n+1（n∈N⁺）．
（1）计算a₁，a₂，a₃，根据计算结果，猜想a_n的表达式（不必证明）；
（2）若数列{a_n}的前n项和S_n＞2016，求n的最小值．

Answer 1

分析 （1）当n=3、2和1，分别求得a₃=11，a₂=6和a₁a₁=3，猜想${a}_{n}=n+{2}^{n}$；
（2）根据数列{a_n}的通项公式，写出前n项和公式，$\frac{{n}^{2}+n}{2}$+2ⁿ⁺¹-2＞2016，解得n的取值范围．

解答 解：当n=3时，a₄=2a₃-3+1=20，a₃=11，
当n=2时，a₃=2a₂-2+1=11，a₂=6，
当n=1时，a₂=2a₁-1+1=6，a₁=3；
猜想${a}_{n}=n+{2}^{n}$（n∈N^*）
（2）由（1）得${a}_{n}=n+{2}^{n}$，a₁=3，
S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，
=（1+2）+（2+2²）+（3+2³）+…+（n+2ⁿ），
=（1+2+3+…+n）+（2+2²+2³+…+2ⁿ），
=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$+2ⁿ⁺¹-2，
∵S_n＞2016，$\frac{{n}^{2}+n}{2}$+2ⁿ⁺¹-2＞2016，
∴n≥10，
n的最小值为10．

点评 本题考查了数列递推公式的应用，根据前n项猜想写出通项公式及等比和等差数列的前n项和，属于中档题．