Question

17．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的动弦BC平行于虚轴，M，N是双曲线的左、右顶点，求直线MB，CN的交点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 利用三点共线建立方程，利用B（x₀，y₀）在双曲线上，化简即可求得轨迹方程．

解答 解：设B（x₀，y₀），C（x₀，-y₀），直线MB与直线NC的交点P（x，y），
∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左、右顶点分别为M、N，
∴M（-a，0），N（a，0）
∴由M、P、B三点共线，得$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$=$\frac{y}{x+a}$，…①
由N、C、P三点共线，得$\frac{{y}_{0}}{a-{x}_{0}}$=$\frac{y}{x-a}$，…②
联立①②，解得x₀=$\frac{{a}^{2}}{x}$，y₀=$\frac{ay}{x}$，
∵B（x₀，y₀）在双曲线上，
∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴所求轨迹的方程为$\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}$-$\frac{{a}^{2}{y}^{2}}{{b}^{2}{x}^{2}}$=1，
化简得，$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（x≠0，y≠0）．

点评 本题考查双曲线方程和性质，考查三点共线的知识和化简整理的能力，考查运算能力，属于中档题．