Question

19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a+c）sinB=2csinA．
（1）若sin（A+B）=2sinA，求cosC；
（2）求证：BC、AC、AB边上的高依次成等差数列．

Answer 1

分析 （1）使用正弦定理将角化边，得出a，b，c的关系，利用余弦定理解出cosB；
（2）用三角形的面积S表示出三条高，利用等差中项的性质进行验证即可．

解答 解：（1）∵（a+c）sinB=2csinA．∴ab+bc=2ac．
∵sin（A+B）=sinC=2sinA，∴c=2a．
∴ab+2ab=4a²．∴b=$\frac{4}{3}a$．
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+\frac{16}{9}{a}^{2}-4{a}^{2}}{2a•\frac{4}{3}a}$=-$\frac{11}{24}$．
（2）∵（a+c）sinB=2csinA，∴ab+bc=2ac，
∴ab，ac，bc成等差数列，
设ab=m，公差为d，则ac=m+d，bc=m+2d．
设BC、AC、AB边上的高分别为h₁，h₂，h₃，三角形面积为S，
则2S=ah₁=bh₂=ch₃，2S=acsinB=absinC=bcsinA，
∴2S=msinC=（m+d）sinB=（m+2d）sinA．
∴h₁=$\frac{2S}{a}$=$\frac{（m+2d）sinA}{a}$，h₂=$\frac{2S}{b}$=$\frac{（m+d）sinB}{b}$，h₃=$\frac{2S}{c}$=$\frac{msinC}{c}$．
∵$\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}{b}=\frac{sinC}{c}$，
∴h₁+h₃=2h₂．
∴BC、AC、AB边上的高依次成等差数列．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理，等差关系的判断，属于中档题．