Question

8．已知公比小于1的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=$\frac{2}{3}$且13a₂=3S₃（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=na_n，求数列{b_n}的前项n和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q＜1，根据a₁=$\frac{2}{3}$，且13a₂=3S₃（n∈N^*）．可得13a₁q=3a₁（1+q+q²），解出即可得出．
（2）b_n=na_n=$2n×（\frac{1}{3}）^{n}$．利用“错位相减法”与等比数列的前项n和公式即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q＜1，∵a₁=$\frac{2}{3}$，且13a₂=3S₃（n∈N^*）．
∴13a₁q=3a₁（1+q+q²），化为：3q²-10q+3=0，q＜1，解得q=$\frac{1}{3}$．
∴a_n=$\frac{2}{3}×（\frac{1}{3}）^{n-1}$=2×$（\frac{1}{3}）^{n}$．
（2）b_n=na_n=$2n×（\frac{1}{3}）^{n}$．
∴数列{b_n}的前项n和T_n=$2[\frac{1}{3}+2×（\frac{1}{3}）^{2}+3×（\frac{1}{3}）^{3}$+…+$n×（\frac{1}{3}）^{n}]$，
∴$\frac{1}{3}{T}_{n}$=2$[（\frac{1}{3}）^{2}+2×（\frac{1}{3}）^{3}$+…+（n-1）×$（\frac{1}{3}）^{n}$+n×$（\frac{1}{3}）^{n+1}]$，
∴$\frac{2}{3}{T}_{n}$=2$[\frac{1}{3}+（\frac{1}{3}）^{2}+…+（\frac{1}{3}）^{n}-n×（\frac{1}{3}）^{n+1}]$=2$[\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}-n×（\frac{1}{3}）^{n+1}]$=1-$\frac{3+2n}{{3}^{n+1}}$，
∴T_n=$\frac{3}{2}$-$\frac{3+2n}{2×{3}^{n}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前项n和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．