Question

11．已知定义在D=（$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$）上的函数f（x）=$\frac{1}{1-x-{x}^{2}}$，存在无穷数列{a_n}，满足f（x）=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ+…
（1）试求数列{a_n}的前三项a₀、a₁、a₂的值，并证明：对任意的n∈N^*都有a_n≥n；
（2）数列{a_n}满足b_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}{a}_{n+1}}$，n∈N^*，是否存在正常数r，使{b_n}的前n项和S_n≤rf（x）对任意的x∈D恒成立？若存在，试求出常数r的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=$\frac{1}{1-x-{x}^{2}}$，得（1-x-x²）$（{a}_{0}+{a}_{1}x+{a}_{2}{x}^{2}+…+{a}_{n}{x}^{n}+…）=1$，然后利用展开式中x，x²的系数为0，常数项为1求得数列{a_n}的前三项a₀、a₁、a₂的值，再由xⁿ（n≥2）的系数为0得到数列递推式，说明数列为递增数列，从而证得a_n≥n；
（2）由b_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}{a}_{n+1}}$，利用裂项相消法求数列{b_n}的前n项和为S_n，放大后证得S_n＜2，把S_n≤rf（x）恒成立转化为2x²+2x+r-2≥0在x∈D=（$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$）上恒成立，结合判别式可得满足条件的正常数r存在．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{1}{1-x-{x}^{2}}$=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ+…
得（1-x-x²）$（{a}_{0}+{a}_{1}x+{a}_{2}{x}^{2}+…+{a}_{n}{x}^{n}+…）=1$，
显然x，x²的系数为0，常数项为1，
∴a₀=1，a₁-a₀=0，a₂-a₁-a₀=0，
则a₀=1，a₁=1，a₂=2，
考虑xⁿ（n≥2）的系数，则有a_n-a_n-1-a_n-2=0（n≥2），
即a_n+2=a_n+1+a_n，
∴数列{a_n}单调递增，
又∵a₁=1，a₂=2，
∴对任意的n∈N^*都有a_n≥n；
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
∴S_n=（$\frac{1}{{a}_{0}}-\frac{1}{{a}_{2}}$）+（$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{3}}$）+（$\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{4}}$）+…+（$\frac{1}{{a}_{n-1}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$）
=$\frac{1}{{a}_{0}}+\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$=2-$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$＜2．
若存在正常数r，使{b_n}的前n项和S_n≤rf（x）对任意的x∈D恒成立，
即rf（x）=$\frac{r}{1-x-{x}^{2}}≥2$对任意的x∈D恒成立，
∵1-x-x²＞0在x∈D上成立，
也就是r≥2-2x-2x²，即2x²+2x+r-2≥0在x∈D=（$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$）上恒成立．
∵二次函数y=2x²+2x+r-2的对称轴方程为x=-$\frac{1}{2}$∈（$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$），
则需△=2²-8（r-2）=20-8r≤0，
即r$≥\frac{5}{2}$．
故存在正常数r，使{b_n}的前n项和S_n≤rf（x）对任意的x∈D恒成立．

点评 本题考查了数列的函数特性，考查了数列递推式，训练了裂项相消法求数列的和，考查了等差数列通项公式的求法，是中档题．